2、(2003，2008年)廠商的生產(chǎn)函數(shù)為y=24L1/2K2/3，生產(chǎn)要素L和K的價(jià)格分別為rL=1和rk=2。試求：
(1)、廠商的生產(chǎn)要素最優(yōu)組合?
(2)、如果資本的數(shù)量K=27，廠商的短期成本函數(shù)?
(3)、廠商的長期成本函數(shù)?
解：①根據(jù)生產(chǎn)要素最優(yōu)組合的條件
MPL/rL=MPK/rK
得(12L-1/2K2/3)/1=(16L1/2K-1/3)/2
得2L=3K,即為勞動(dòng)與資本最優(yōu)組合。
?、诙唐诔杀竞瘮?shù)由下列二方程組所決定： y=f(L,K) c=rLL+rKK(━)
即 y=24L1/2×272/3 c=L+2×27
解得c=(y/216)2+54
③長期成本函數(shù)由下列三條件方程組所決定：
y=f(L,K) c=rLL+rKK MPL/rL=MPK/rK
即 y=24L1/2K2/3 c=L+2K 2L=3K
從生產(chǎn)函數(shù)和最優(yōu)組合這兩個(gè)方程中求得L=y6/7/15362/7
和 K=(2/3)×(y6/7/15362/7)
代入到第二個(gè)方程中得到廠商的成本函數(shù)為 c=5/(3×15362/7) ×y6/7
***3、證明：追求利潤最大化的廠商必然會(huì)在生產(chǎn)擴(kuò)展曲線上選擇投入組合。
回答三個(gè)問題：⑴利潤最大化與生產(chǎn)要素最優(yōu)組合的一致性;⑵既定產(chǎn)量下的成本最小;既定成本下的產(chǎn)量最大;⑶生產(chǎn)擴(kuò)展線方程的概念，與生產(chǎn)要素最優(yōu)組合的一致性。)
廠商的利潤π=TR-TC=PQ-TC，將其對(duì)生產(chǎn)要素求一階導(dǎo)數(shù)令其為零以尋求利潤最大化的條件。設(shè)該廠商僅使用勞動(dòng)L和資本K兩種生產(chǎn)要素，即Q=f(L，K)=Q0，TC=rLL+rKK
則分別對(duì)L，K求偏導(dǎo)數(shù)得： P -rL=0，P -rK=0，按邊際產(chǎn)量的定義替換并將兩式相除得：MPL/MPK=rL/rK。此即廠商追求利潤最大化的投入組合。
又由生產(chǎn)擴(kuò)展線的定義為一系列等成本線與等產(chǎn)量線的切點(diǎn)的連線，等產(chǎn)量線上任意一點(diǎn)切線的斜率為邊際技術(shù)替代率MRTSL，K=MPL/MPK，而等成本線為C=rLL+rKK=C0，其斜率為rL/rK，因此可得生產(chǎn)擴(kuò)展線的方程為MPL/MPK=rL/rK，與廠商追求利潤最大化的投入組合相同。故追求利潤最大化的廠商必然會(huì)在生產(chǎn)擴(kuò)展曲線上選擇投入組合。
